Đề cương thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc lần thứ XX

Đề cương ôn tập
thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc lần thứ XX tổ chức tại Trường Đại
học Phú Yên, tháng 4/2012.






Phần I: ĐẠI SỐ TUYẾN
TÍNH

1. Không gian
véc tơ

-
Định nghĩa, không gian con và các ví dụ liên quan tới giải tích

- Hệ sinh, hệ
độc lập tuyến tính, cơ sở

-
Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính và mối liên hệ với ma trận biểu diễn

2. Giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính và của ma trận: định nghĩa, các tính chất cơ bản,
cách tìm.

3. Ma trận, định thức

- Ma trận (thực, phức), các phép toán của ma
trận và một số tính chất.

-
Định thức: định nghĩa (quy nạp theo cấp n và theo phép thế), định lý Laplace, tính chất của định thức, các phương pháp tính
định thức.

-
Ma trận nghịch đảo, các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo (theo phần bù đại số
và biến đổi sơ cấp).

-
Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận.

- Ma trận đồng dạng và tính chéo hóa của ma trận.

- Phương trình ma trận. Đa thức đặc trưng, đa thức tối
tiểu và Định lí Hamilton-Cayley.

-
Một số dạng ma trận đặc biệt: ma trận Vandermonde, ma trận đối xứng, ma trận
phản đối xứng, ma trận Hermite, ma trận trực giao.

4. Hệ phương trình tuyến tính.

- Dạng tổng
quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính. Hệ Cramer.

- Định lí
Kronecker-Capelli.

- Phương pháp
Gauss, phương pháp Gauss-Jordan

- Nghiệm riêng và nghiệm
tổng quát của hệ phương trình tuyến tính. Không gian nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất.



Phần II: ĐA THỨC

- Các phép toán của đa thức, phân tích một đa
thức thành nhân tử, ước chung lớn nhất của 2 đa thức, hai đa thức nguyên tố
cùng nhau.

- Nghiệm của đa thức:
định lí Bezout, lược đồ Horner, định lí Viet, biên của nghiệm, quy tắc dấu
Descartes.

- Đa thức dương, công
thức Taylo

- Bài toán xác định đa thức (phương pháp hệ số
bất định, các phương trình xác định đa thức…)





1. Dãy số :

- Dãy hội tụ, dãy đơn điệu, dãy bị
chặn. Giới hạn vô cùng

- Các tính chất và các phép toán về
dãy hội tụ.

- Tìm giới hạn của các dãy số.

- Phương trình và bất phương trình
sai phân

2. Hàm số:

- Định nghĩa hàm số, miền xác định,
miền giá trị, hàm đơn điệu, hàm bị chặn, hàm tuần hoàn, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm
ngược.

- Giới hạn hàm số.

- Sự liên tục của hàm số, các tính
chất của hàm liên tục.

- Phương trình hàm, bất phương trình
hàm.

3. Phép tính vi phân hàm một biến:

- Định nghĩa đạo hàm, hàm khả vi và
các phép toán về đạo hàm.

- Các định lý: Fermat, Rolle,
Lagrange, Cauchy, L’Hospital.

- Công thức Taylor, Maclaurin của hàm số.

- Cực trị, GTLN, GTNN của hàm số.

- Phương trình hàm trên lớp hàm khả
vi.

4. Phép tính tích
phân hàm một biến.

- Nguyên hàm và tích phân bất định.

- Các phương pháp tính tích phân bất
định.

- Tích phân các hàm hữu tỷ, vô tỷ,
hàm lượng giác.

- Hàm khả tính và tích phân xác định.

- Các phương pháp tính tích phân xác
định.

- Tích phân có cận thay đổi.

- Định lý về giá trị trung bình của
tích phân.

- Bất đẳng thức tích phân